Юрий Абрамович Башмет родился 24 января 1953 года в Ростове-на-Дону в семье Абрама Борисовича Башмета и Майи Зиновьевны Кричевер. Отец - инженер железнодорожного транспорта, мать - филолог.
Музыке Юрий учился в средней специальной школе города Львова, куда его отца Абрама Борисовича перевели работать в управление железной дороги. В 1971 году Юрий Башмет окончил Львовскую среднюю специальную музыкальную школу им. С. Крушельницкой по классу альта, в 1976 году - Московскую государственную консерваторию (МГК) им. П. И. Чайковского, где учился у Вадима Борисовского и Федора Дружинина. В 1976-1978 годах проходил в МГК ассистентуру-стажировку под руководством Дружинина.
В начале 1970-х годов был альтистом симфонического оркестра Львовского политехнического института и местной бит-группы. С 1971(72) года по настоящее время Башмет играет на альте итальянского мастера Паоло Тесторе. Альт был изготовлен без малого за 200 лет до рождения музыканта – в 1758 году. Деньги юноша заработал, исполняя песни из репертуара ансамбля «Битлз» на танцах. Играл на гитаре «Вокс» – той же самой марки, что и у Джорджа Харрисона.
В 1972 году в составе симфонического оркестра под управлением Юрия Силантьева принимал участие в записи первой пластинки вокально-инструментального ансамбля Стаса Намина "Цветы".
Активная концертная деятельность Башмета началась в 1976 году с гастролей по ФРГ в составе Московского камерного оркестра. В 1978 году он стал солистом Московской государственной академической филармонии.
Несколько сочинений для альта были написаны специально для Башмета или посвящены ему. Среди них концерты для альта с оркестром Альфреда Шнитке, Эдисона Денисова, Александра Чайковского, Софии Губайдулиной, Андрея Эшпая, Витаутаса Баркаускаса и др., соната для альта и фортепиано Александра Раскатова, сочинения "Stix" и "Литургия" Гии Канчели и др.
Репертуар музыканта также включает симфонические произведения Франца Шуберта, Вольфганга Амадея Моцарта, Петра Чайковского, Иоганнеса Брамса, Йозефа Гайдна и др.
В разные годы Башмет впервые в мировой практике выступал с сольными альтовыми концертами в Большом зале Московской консерватории, Карнеги-Холле (Нью-Йорк), Берлинской филармонии, театре "Ла Скала" (Милан), залах "Концертгебау" (Амстердам), "Барбикан" (Лондон), "Бостон Симфони-Холл", "Сантори-Холл" (Токио) и др. По мнению специалистов, исполнительское мастерство Башмета способствовало утверждению альта в качестве полноценного солирующего инструмента.
В 1985 году на музыкальном фестивале в Туре (Франция) дебютировал в качестве дирижера.
В 1986 году создал камерный ансамбль "Солисты Москвы" и стал его художественным руководителем. Первое выступление состоялось в Большом зале МГК во время фестиваля "Московские звезды". В 1992 году состав музыкального коллектива был полностью обновлен. Репертуар "Солистов Москвы" насчитывает более 350 произведений отечественной и мировой классики. Ансамбль дал около 2 тыс. концертов в 50 странах мира. В разное время с ансамблем сотрудничали пианист Святослав Рихтер, виолончелист Мстислав Ростропович, скрипач Максим Венгеров и др.
С 2002 года Башмет - художественный руководитель и главный дирижер Государственного симфонического оркестра "Новая Россия". Его репертуар сочетает классические и современные произведения. Оркестр дал более 750 концертов в России и за рубежом.
С 2012 года Башмет является художественным руководителем Всероссийского юношеского симфонического оркестра. В феврале 2014 года коллектив принял участие в церемонии закрытия XXII зимних Олимпийских игр в Сочи, в июне того же года совершил первое международное турне.
Башмет записал более 40 музыкальных дисков с исполнением различных произведений.
Основатель и председатель жюри первого и единственного в России Международного конкурса альтистов (регулярно проводится в Москве с 1994 года), президент Международного конкурса альтистов им. Лионеля Тертиса (Великобритания) и фестиваля "Эльба - музыкальный остров Европы" (Италия).
С 1997 года - художественный руководитель ежегодного фестиваля музыки и живописи "Декабрьские вечера Святослава Рихтера" (Государственный музей изобразительных искусств им. А. С. Пушкина, Москва), с 2008 года - ежегодного Зимнего международного фестиваля искусств (Сочи, Краснодарский край). С 2011 года является артистическим директором ежегодного Международного музыкального фестиваля в Хабаровске.
